Números primos y fallos en mantenimiento

Javier Borda Elejabarrieta 28 de mayo de 2025

18

9

0

0

3 min. de lectura

Javier Borda Elejabarrieta, PhD.
Ex profesor de Sistemas de fabricación aeroespacial
ETSII de Bilbao

APARTADO A

Los números primos (en adelante PN), al igual que los irracionales (IN), son el núcleo de la naturaleza, dando forma a estructuras y proporciones a través de la geometría, el cálculo diferencial, las ecuaciones de la física, la biología y, más recientemente, en la ciberseguridad y la computación. Sin duda, las matemáticas dan forma al cosmos, y la “teoría de los números” está en su núcleo.

• LOS NÚMEROS PRIMOS Y LOS IRRACIONALES REPRESENTAN PUREZA Y LIMPIEZA

Porque no se pueden obtener combinando otros

Los PNs no se pueden descomponer en factores de otros números
PN ≠ a^α · b^β · c^γ · …

Los INs no se pueden expresar mediante un cociente de otros números enteros (b distinto de 0)

• SON GENERADORES DE LOS OTROS NÚMEROS

Por lo tanto, forman parte de su núcleo

Los IN (números irracionales) son incontables porque surgen como números decimales no enteros, por lo que tienen un grado de abundancia ∞^∞… mayor que los anteriores.

Una aplicación interesante de los PN se encuentra en el mantenimiento de averías. Al tratar el mantenimiento de sistemas de ingeniería complejos, encontramos fallos primos, y fallos compuestos - derivados.

Las fallos primos son el origen central de los fallos, la raíz del daño.

En general las fallos PRIMOS son aquellos más cercanos a las piezas activas más expuestas y delicadas de los equipos.

Y durante o después de su fallo, originan una cascada de fallos en los componentes con los que están en contacto o trabajando conjuntamente.

En un sistema simple, los puntos de fallo y aquellos provocados, se identifican fácilmente, pero no en un sistema complejo.

En un sistema complejo, se puede hacer una aproximación de la proporción entre fallos primarias (PRIMOS) y fallos derivados o dependientes mediante la relación entre los números primos (PN) y el total de los números naturales enteros.

Esto ayuda a identificar de una lista más exhaustiva y precisa de posibles fallas, así como de sus relaciones con las fallos principales.

• FALLOS PRIMARIOS ≡ NÚMEROS PRIMOS P₁, P₂, …P_i.
• FALLOS DERIVADOS ≡ RESTO DE LOS ENTEROS N₁, N₂, … N_j
• N_j = P1^α1 · P2^α2 · … · Pi^αi (descomposición del número en sus factores primos)
• dj = (α₁ + 1) · (α₂ + 1) · … · (α_i + 1) (número de divisores de N_j)
• A partir de N_j obtenemos los fallos PRIMARIOS detrás de las fallos complejos j, así como su probabilidad relativa dada por los exponentes αi.
• A partir de d_j obtenemos el número total de diferentes tipos de fallos primarios que pueden estar presentes en el fallo complejo N_j.

Este concepto puede ser de gran utilidad en (A.I. Machine Learning, Sisteplant) análisis predictivo de fiabilidad de máquinas y proyección de daños, ayudando al software a ramificar y delimitar los árboles de fallos de RCM.

APARTADO B.

Conteo de fallos primarios y derivados (fórmula de Euler para PN)

El número de primos PN hasta el número entero n está dado aproximadamente por:

donde haciendo ℓn x = t y aplicando el desarrollo en series de Taylor, de la expresión se obtiene la fórmula [1]:

Que representándola gráficamente:

Por lo que la cantidad de fallos derivados-compuestos, es:

Gráficamente:

Teniendo en cuenta que N(n) es un mínimo y, a partir de allí, la complejidad de las fallas derivadas crece rápidamente.

Así pues: , por lo que MUY POCAS!!!!

Esto significa que:
LOS FALLOS DERIVADOS N(n) CRECEN RÁPIDAMENTE INCLUSO A PARTIR DE SISTEMAS SIMPLES (n↓), Y POR LO TANTO TAMBIÉN CRECE RÁPIDAMENTE LA COMPLEJIDAD DEL MANTENIMIENTO Y EL DIAGNÓSTICO CORRESPONDIENTE

APARTADO C. APLICACIÓN

Por ejemplo, dado un equipo con 10 piezas críticas primarias, y por lo tanto P(n) = 10, usando la fórmula anterior [1] para P(n), se calcula el valor de n, en este caso, dando como resultado N ≃  25

Así, el número de fallos derivados N(n) ≃ 25 – 10 = 15, por lo que tenemos que identificar alrededor de 15 fallos derivados principales.

Para n ≃ 50 se obtiene aproximadamente P(n) = 20, por lo que N(n) ≃ 30 fallos derivados