Fiabilidad

Predicción Alternativa para Análisis de Weibull con elementos suspendidos desconocidos

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Imagen del artículo Predicción Alternativa para Análisis de Weibull con elementos suspendidos desconocidos

Juan Antonio Sánchez Lantarón
Ingeniero de Seguridad en Aviones – Airbus Defense and Space º

Resumen

El análisis estadístico de Weibull es uno de los métodos más ampliamente usados para predecir las características de fiabilidad de una población de componentes, siendo capaz de realizar unas predicciones razonablemente precisas a partir de un tamaño de muestra relativamente pequeño. Aunque es preferible disponer de un conjunto completo de muestras (sin elementos suspendidos), en la vida real, las suspensiones son muy comunes en los análisis realizados por la industria, dando lugar a situaciones en las que, cuando los modos de fallo que se están analizando solo están presentes en un grupo reducido de componentes de la población, la vida de los elementos suspendidos es desconocida. Este artículo propone una nueva aproximación para analizar estas situaciones tan particulares, comparando los resultados obtenidos con los análisis tradicionales de Weibull (Weibull sin suspensiones y la metodología del ajuste de Dauser o “Dauser Shift”).

1. Introducción

Desde que Walodi Weibull invento la distribución de Weibull en 1937, y escribió un artículo dedicado a este tema en 1951, la distribución de Weibull se ha convertido en el método de referencia dentro del mundo de la estadística para ajustar, analizar y predecir la vida de componentes. El método de Weibull es efectivo con muestras extremamente pequeñas, incluso para dos o tres fallos. Técnicas más avanzadas, como la predicción de fallos, justificaciones de test, y metodologías como Weibayes, y el desplazamiento de Dauser fueron desarrolladas precisamente para cubrir estas posibles deficiencias en el conjunto de datos iniciales [1].

Los análisis de Weibull se han usado de manera frecuente en la industria de la aviación para valorar la fiabilidad de componentes y sistemas aeronáuticos, basándose en la capacidad de cuantificar la fiabilidad (o del riesgo de fallo) como una función de la edad del producto, siendo capaz de predecir modos de fallos infantiles, aleatorios, o de desgaste. Adicionalmente, los análisis de Weibull proporcionan una precisión razonable para los análisis y predicciones de fallos a partir de muestras sorprendentemente pequeñas, teniendo la posibilidad de incrementar la precisión de estos resultados a partir de la información proporcionada por los elementos suspendidos [2]. Otra ventaja adicional que posee el análisis de Weibull es que proporciona un método simple y útil de representar gráficamente toda la información, lo que permite obtener algunas pistas sobre la física del fallo identificado [1].

Además de la industria aeronáutica, debido a su versatilidad, los análisis estadísticos de Weibull se usan en una gran variedad de análisis donde se incluyen los análisis de garantías, predicción de pedidos de recambios, planificación de mantenimiento, estrategias de reemplazo de compontes, distribuciones de viento, análisis de dispersión de señales, estimación de vida de activos intangibles, y otros muchos análisis donde el tiempo hasta el fallo es importante [3].

2. Distribuciones de Weibull de dos y tres parámetros

La distribución de Weibull de tres parámetros se define a partir de la siguiente Función de Distribución Acumulada (CDF por sus siglas en ingles), que representa la probabilidad de que falle un componente antes de alcanzar la edad t [1]:

Dónde:

  • β: Parámetro de Forma (Pendiente de la línea de ajuste de Weibull), que proporciona el orden de magnitud de la variación de la tasa de fallo con la edad. En particular, si:
  • 𝛽 ≤ 1 La distribución muestra que la tasa de fallo decrece con la edad, y por tanto está asociado con una etapa de mortalidad infantil.
  • 𝛽 = 1 La distribución muestra que la tasa de fallo permanece constante con la edad, y por tanto está asociada con fenómenos aleatorios (distribuciones exponenciales)
  • 𝛽 ≥ 1 La distribución muestra que la tasa de fallo incrementa con el tiempo, y por tanto está asociado con un proceso de desgaste, donde el componente es más susceptible de fallar a medida que aumenta su vida.
Figura 1: Relación entre el parámetro de forma (β) y la tasa de fallo
  • η: Parámetro de Escala (vida característica). Representa, para aquellos casos en los que el parámetro de localización (α) es nulo, el tiempo para el cual el 63,2% de las unidades habrán fallado, independientemente del valor del parámetro de forma (β). En el caso en que el parámetro de localización (α) sea distinto de 0, entonces el tiempo para el cual el 63,2% de las unidades han fallado estará medido con respecto al desplazamiento temporal considerado.
  • α: Parámetro de Localización. El parámetro de localización se usa para introducir un desplazamiento temporal en la distribución.

Si la distribución de Weibull tiene un parámetro de localización distinto de 0, indica que la probabilidad para esa distribución particular es nula hasta ese tiempo, implicando que ese fallo en concreto no va a poder ocurrir antes de ese tiempo. Debido a esto, generalmente este parámetro se considera que tiene un valor de 0, dando lugar a la típica distribución de Weibull de 2 parámetros, que es la distribución más usada para el análisis de vida de los componentes. Para este caso, la Función de Distribución Acumulada (CDF) está representada por la siguiente ecuación:[1]:

A partir de esta CDF, se pueden definir las siguientes funciones características [4]:

  • Función de Probabilidad de Densidad (PDF), definida como la derivada con respecto al tiempo de la CDF:
(3)
  • Función de Fiabilidad, definida como 1 – Fβ,η(t):
  • Tasa de fallo: Define la probabilidad de que la vida de un componente se acabe en el próximo incremento diferencial de tiempo, asumiendo que su vida a excedido el tiempo t:

3. Estimación de los Parámetros de Weibull

Existen distintos métodos para estimar los parámetros que permitan ajustar la distribución de Weibull a un conjunto particular de datos. Algunos métodos disponibles incluyen una representación gráfica de la probabilidad a través del uso de Rangos de mediana (MRR), mientras que otros se basan en el uso de funciones que maximizan la probabilidad de ocurrencia de un estimador (MLE). La metodología más adecuada para cada ocasión dependerá del tipo de datos iniciales, y en algunos casos de la distribución de vida observada.

  • Representación Probabilística de Rangos de Mediana [MRR por sus siglas en Ingles] [7]: Este método trata de representar, por medio de un gráfico especial diseñado para ello, la falta de fiabilidad de cada fallo como función del tiempo de vida de cada componente. Debido a que la determinación de la falta de fiabilidad es un proceso complejo, normalmente se opta por representar los rangos de mediana (Median Ranks) como función del tiempo de fallo del componente. Una vez que los puntos han sido representados, se usará un método de mínimos cuadrados, bien en X bien en Y, para encontrar la línea que mejor se ajuste al conjunto de datos, y así determinar los parámetros de escala y los de forma.
    • Parámetro de forma (β) es la pendiente de la recta
    • Parámetro de Escala (η) es el tiempo para el cual el 62,3% de los componentes han fallado.
  • El Estimador de Máxima Similitud [MLE por sus siglas en Ingles] [8][9]. Este método está basado en el desarrollo de una función de probabilidad, y de la búsqueda de los valores de los parámetros (β, η) que maximizan esta función de probabilidad. Este proceso de maximización se puede llevar a cabo a través de las ecuaciones resultantes de igualar a cero las derivadas parciales de las ecuaciones. Normalmente, la obtención de resultados a través de este método requiere la aplicación de métodos numéricos, que no debería de suponer ningún problema, teniendo en cuenta el gran número de SWs disponibles actualmente.

4. Elementos Suspendidos

Normalmente, en las evaluaciones llevadas a cabo en la industria no es usual tener un conjunto de datos completos en los que se conozca al mismo tiempo el tiempo de vida hasta el fallo de cada uno de los componentes fallados y que el resto de componentes hayan consumido hasta el final su vida sin haber fallado. Lo normal es que en la vida real se disponga de un conjunto reducido de elementos que han fallado, y adicionalmente se disponga de la información de la vida actual de aquellos componentes que están instalados y operativos.

Si se realiza el análisis considerando únicamente los elementos fallados se obtendrá unos resultados extremadamente conservativos, puesto que toda la información adicional que pueden proporcionar el estado de los componentes no fallados no habrán sido tenidos en cuenta [1] [5].

Por tanto es muy recomendable, cuando sea posible, utilizar la información de los elementos suspendidos con el fin de mejorar la precisión de los resultados. Ambas metodología descritas anteriormente, MRR y MLE, tienen la capacidad de tener en cuenta estos elementos suspendidos para la evaluación de los parámetros de Weibull [1][7][8][9].

5. Análisis de paquetes de Datos con Tiempo de Suspensión Desconocidos

La omisión de la información correspondiente a los equipos suspendidos puede dar lugar a una interpretación errónea de los datos. Así, algunos análisis demuestran la importancia de considerar los elementos suspendidos dentro de los análisis estadísticos. Una manera de observar los diferentes resultados obtenidos es comparar la representación gráfica de la curva de Fiabilidad en función del tiempo para los siguientes escenarios [5]:

  1. Considerando únicamente los elementos fallados sin tener en cuenta ningún elemento suspendido.
  2. Realizar un análisis de Montecarlo previo para predecir, en base al modelo de elementos fallados, cuál sería la distribución más probable de elementos. suspendidos, y considerar dichos elementos en la predicción final.
  3. Asumir que la vida de todos los componentes suspendidos es de 1 hora
  4. Asumir que la vida de todos los componentes suspendidos es igual a la vida del último elemento fallado

El resultado correspondiente a estos cuatro escenario se ha dibujado en la Figura 2, donde se puede observar que al asumir que todos los datos suspendidos tienen una vida de 1 hora da lugar a una curva de Fiabilidad casi idéntica a la que se obtiene si solo se consideran los elementos fallados, siendo esta una predicción muy pesimista de la curva de Fiabilidad. Por otro lado, la curva obtenida para el caso en el que todos los datos suspendidos tienen una vida igual que la del último elemento fallado da lugar a una sobre predicción de la Fiabilidad, siendo esta aproximación la más optimista de todas. Adicionalmente, tal y como cabría esperar, la curva obtenida para el caso en el que los elementos suspendidos están distribuidos dentro del marco de variación de los tiempos de fallo observados está dentro de las dos predicciones más extremas, la más optimista y la más pesimista.

A pesar de que los elementos son muy representativos, el objetivo principal de este artículo es completar el estudio realizado en [5], proporcionando una metodología alternativa para comparar y seleccionar la mejor aproximación para el caso de desconocer la vida de los elementos suspendidos, mediante la observación de la evolución de los dos parámetros de Weibull, como función de la vida de los elementos suspendidos, comparándolos a su vez con los resultados obtenidos a través de los procedimientos usuales.

Figura 2: Curva de Fiabilidad en función del tiempo para los diferentes casos considerados de distribución de la vida de los componentes suspendidos

6. Metodología alternativa para el análisis de datos con tiempos de suspensión desconocidos

6.1 Origen de los Datos de Campo

La comparativa entre las diferentes metodologías se realizara en base a un caso real, analizado como consecuencia de un fallo detectado durante la operación de una determinada flota de aviones.

Después de tener tres ocurrencias en los aviones que estaban en servicio y que potencialmente se podía atribuir al mismo modo de fallo de un componente, el suministrador llevo a cabo un análisis detallado que finalmente revelo a la existencia de un escape de calidad durante el proceso de conformado de un componente mecánico. Este escape de calidad reveló que potencialmente se podría haber estado usado material obtenido de la forja con inclusiones no detectadas por el método tradicional de inspección, pudiendo estar afectada la integridad de algunos componentes.

Basado en los análisis de trazabilidad, todo los componentes fabricados a partir del material base identificado se consideraron sospechosos de poder tener una inclusión. En paralelo, el suministrador llevo a cabo un análisis probabilístico para determinar, desde un punto de vista conservativo, que solamente un máximo de tres inclusiones podrían haber sido no detectadas, y por tanto se limitaría a tres el número de elementos suspendidos a tener en cuenta en el análisis estadístico, ya que el resto de componentes nunca llegarían a desarrollar este modo de fallo.

Por tanto, el conjunto de datos disponibles para realizar un análisis estadístico se puede reducir al conjunto de datos relacionados con los tres elementos fallados (Tabla 1) y la vida de los componentes potencialmente afectados por el escape de calidad, pero que todavía no han fallado (Tabla 2), de los cuales solo tres componentes podrían estar afectados por este problema, pero es imposible determinar que tres componentes son. Este es un claro ejemplo de conjunto de datos con 3 elementos fallados y 3 suspendidos, donde la vida de los elementos suspendidos es desconocida.

Tabla 1: Tiempo en el que se identificó el fallo de cada uno de los componentes
Tabla 2: Tiempo de vida de los elementos no fallados (Elementos Suspendidos)

6.2 Análisis de Weibull sin elementos suspendidos

Puesto que la información sobre los elementos suspendidos no está disponible, la manera más fácil, pero a su vez la menos precisa de proceder, es considerar la evaluación de los parámetros de Weibull considerando únicamente los tiempos de fallo capturados en la Tabla 1, asumiendo que no hay datos suspendidos. Los resultados presentados (Tabla 3) han sido obtenidos considerando tanto la metodología MRR X, como la de MLE.

Tabla 3: Parámetros de Weibull para los datos de fallos sin considerar los elementos suspendidos

6.3 Análisis de Weibull considerando el ajuste de Dauser

Fred Dauser (Pratt & Whitney Aircraft) propuso un método para “ajustar” los parámetros de Weibull obtenidos a partir de la población de elementos fallados, para intentar aproximarse a los resultados que se hubieran obtenido si los datos de suspensión fueran conocidos [1]. El propio autor reconoce que esta metodología no es la mejor práctica y que debería de ser utilizado únicamente como último recurso. Los pasos a tener en cuenta para realizar el ajuste de Dauser es [1]:

  1. Representar los fallos en la Hoja de Probabilidad de Weibull para estimar el valor del parámetro de forma (β)
  2. Calcular el Tiempo Medio al Fallo (MTTF) [la suma de acumulado de los tiempos hasta el fallo de los componentes fallados, dividido por el número de fallos]
  3. Dibujar una línea vertical en el diagrama para un tiempo igual al MTTF
  4. Calcular la proporción de fallos (%) [Número de fallos / suma de fallos y de elementos suspendidos]
  5. Dibujar una línea horizontal en el % acumulado
  6. Por el punto de intersección de la línea vertical y de la línea horizontal dibujar una línea paralela a la línea original de Weibull, siendo esta línea la nueva estimación de la aproximación de Weibull.

De acuerdo con esta aproximación, los parámetros de Weibull correspondientes a la aplicación de la aproximación de Dauser han sido capturados en la Tabla 4:

Tabla 4: Parámetros de Weibull considerando la aproximación de Dauser

6.4 Estudio Paramétrico MRR para elementos suspendidos de vida desconocida

A pesar de que los ajustes por rangos de mediana (MRR) es uno de los métodos más ampliamente usados para realizar análisis de vida de componentes, hay que resaltar que este método tiene en cuenta la posición relativa respecto a los elementos fallados, pero no el momento temporal exacto en el que ocurre [6]. Esto implica que, desde el punto de vista del análisis de MRR, solamente es importante considerar la posición temporal relativa de los componentes suspendidos respecto de los elementos fallados.

Por tanto, teniendo en cuenta el problema original que se está analizando donde hay tres elementos fallados y tres elementos suspendidos, todos los casos que sería necesario analizar para determinar todas las posibles combinaciones de los parámetros de Weibull, quedarían reducidos a la evaluación de un número limitado de casos, donde solo es relevante la posición relativa entre los elementos suspendidos y los elementos fallados. Por tanto, el número de escenarios que habría que evaluar se puede obtener a partir de la ecuación (6), que es equivalente a considerar 3 elementos suspendidos de un total de 4 posibles posiciones posibles, con repetición:

Dónde:

  • m: Número total de elementos (fallados y no fallados)
  • k: Número de elementos fallados

La Tabla 5 muestra el total de los 20 escenarios posibles tras la evaluación de todas las combinación posibles de los parámetros de forma y de escala (β y η).

Tabla 5: Escenarios analizados de acuerdo con el modelo MRR

Dónde:

  •  F: Elementos fallados ordenados progresivamente en función del tiempo en el cual el fallo fue detectado (F1 = 150, F2 = 300 and F3 = 500)
  • S: Elementos Suspendidos. Estos valores no necesariamente tienen que estar extraídos de la Tabla 2, si no que basta con que sean valores arbitrarios que respeten la posición relativa de los elementos fallados de acuerdo con la secuencia identificada en los escenarios.

Una vez identificados todos los escenarios, se calcularon los parámetros de Weibull a través del método MRR y aproximado por mínimos cuadrados en X, siendo los resultados obtenidos los que se encuentra recogidos en la Tabla 6.


Tabla 6: Parámetros de Weibull según la aproximación MRR ajustada en X como función de la posición relativa de los elementos suspendidos.

6.5 Estudio paramétrico MLE para elementos suspendidos de vida desconocida

Una de las diferencias principales cuando se comparan las metodologías de estimación de parámetros MLE y MRR es que la MLE considera el tiempo exacto de suspensión de cada componente a la hora de evaluar los parámetros de Weibull. Por tanto, teniendo en cuenta el análisis descrito en la Sección 6.1, para ser capaces de evaluar todos los escenarios potenciales, será necesario combinar los tres elementos fallados con todos los grupos obtenidos a partir de agrupar de tres en tres los elementos suspendidos de la Tabla 2.

Para este caso, el número de escenarios a analizar se puede obtener a partir de la ecuación (7), que es equivalente a considerar 3 elementos suspendidos de un conjunto completo de 24 elementos no fallados, sin repetición:

Dónde:

  • m: Número de elementos no fallados
  • k: Número de elementos suspendidos

Comparando los resultados de las ecuaciones (6) y (7), se puede observar que, a pesar de que el escenario que se está analizando es relativamente sencillo (tres elementos fallados con tres elementos suspendidos de una lista de 24 componentes), el número de escenarios potenciales ha aumentado en un factor de dos órdenes de magnitud (se ha pasado de 20 casos en MRR hasta alrededor de 2000 casos en MLE).

Una vez que todos los escenarios que habría que tener en cuenta han sido identificados, los parámetros de Weibull fueron estimados a través de las ecuaciones de MLE, donde los resultados completos de los análisis han sido representados en un grafico β vs. η (Figura 3)

Figura 3: Evolución de los parámetros de forma y escala (β y η) como función de la posición relativa entre los elementos fallados y los elementos suspendidos.

Teniendo en cuenta la forma de la curva mostrada en la Figura 3, se pueden extraer las siguientes conclusiones de la relación entre los parámetros de forma y de escala (β y η):

  1. Los parámetros de Weibull tiene una clara dependencia de la posición relativa entre los tiempos a los que se producen los fallos y los tiempos en los que se producen la suspensión.
  2. Aun en el caso en el que no se conozca la posición relativa de los elementos suspendidos, el espectro de posibles valores de los parámetros de Weibull está acotado en el espacio, y posee una forma característica.
  3. Los valores bajos del parámetro de escala (η) están relacionados con valores más altos del parámetro de forma (β), que adicionalmente están relacionados con aquellos escenarios en los que los elementos suspendidos tienen vidas más bajas que los elementos fallados.
  4. En el lado opuesto, valores altos del parámetro de escala (η), están relacionados con valores más bajos del parámetro de forma (β), que a su vez están relacionados con aquellos escenarios en los que los elementos suspendidos tienen una vida más alta que los elementos fallados.
  5. En particular, hay una posición relativa de los elementos suspendidos que maximiza el valor del parámetro de forma (β). El parámetro de escala que maximiza el valor del parámetro de forma se identifica como ηβmax.

7. Comparativa entre todas las metodologías

La mejor manera de comparar los resultados obtenidos a partir de cada predicción de los parámetros de Weibull, es representar todos los resultados en un diagrama β vs. η, para poder observar la posición relativa entre todas las parejas de valores (β, η) de los parámetros.

Figura 4: Comparativa de todas las parejas de valores de los parámetros de Weibull (β, η)
Figura 5: Comparativa y Áreas de influencia de los parámetros de Weibull para cada método de estimación de los parámetros de Weibull con elementos suspendidos

De los resultados obtenidos en la Figura 4 y Figura 5 se pueden extraer las siguientes conclusiones:

  • Independientemente de la aproximación considerada para estimar los dos parámetros de la distribución de Weibull, para un caso en el cual la información relativa a la vida de los componentes fallados es conocida, el espectro de valores potenciales de los dos parámetros está acotado, independientemente de la vida de los elementos suspendidos.
  • La representación de los parámetros en un gráfico β vs η permite seleccionar la combinación más relevante de estos parámetros, en función del propósito final de uso del análisis de Weibull. Un ejemplo de valores característicos serian:
    • Valores más conservativos
      • Pareja de parámetros que maximiza el parámetros de forma (β)
      • Pareja de parámetros que minimiza el parámetros de escala (η)
    • Un valor medio, que podría ser calculado como centroide del área de influencia del espectro de posibles casos.
  • Los parámetros obtenidos de acuerdo a la aproximación MRR sin elementos suspendidos y los obtenidos a partir de la aproximación de Dauser forman parte del espectro de valores totales obtenidos mediante la aproximación MRR.
  • A pesar de que es conocido que la aproximación de Dauser no tienen ningún fundamente matemático, el valor final obtenido está incluido dentro del contorno de valores potenciales de (β, η) obtenidos para la metodología de MRR, cerca de la posición del centroide del área definida por todos los valores potenciales, siendo, por tanto, esta metodología válida en ausencia de información adicional.
  • Los parámetros obtenidos a través de la aproximación de MLE sin elementos suspendidos forman parte del espectro de valores obtenidos a través de la aproximación de MLE.
  • Para la región de MLE, hay un valor del parámetro de escala (ηβmax) que maximiza el valor del parámetro de forma (β). Esta pareja de parámetros se corresponde con el escenario en el que la vida de los tres elementos suspendidos es muy cerca de la vida del segundo elemento fallado.
  • Teniendo en cuenta que el parámetro de forma (β) proporciona una idea de cómo varia la tasa de fallo con el tiempo, las áreas de MLE and MRR pueden ser separadas en tres grupos dependiendo del valor de este parámetro:
    • 0,85 ≥ β: Distribución de elementos suspendidos asociada con una “mortalidad infantil”
    • 1,25 ≥ β ≥ 0,85: Distribución de elementos suspendidos asociado con una distribución aleatoria
    • β ≥ 1,25: Distribución de elementos suspendidos asociado con un proceso de desgaste

Esta separación permitiría analizar la posición relativa entre los elementos suspendidos y los elementos fallados que hace que la aproximación de Weibull cambia de un modelo temporal a otro.

8. Conclusiones

En las evaluaciones llevadas a cabo en la vida real de la industria, las suspensiones son frecuentes, dando lugar a situaciones en las que, en algunos casos particulares, los modos de fallo que se están analizando pueden estar presentes únicamente en una subpoblación, siendo la vida de los elementos no fallados desconocida. A lo largo de este estudio, dos aproximaciones diferentes han sido considerados para el análisis de los elementos suspendidos en la predicción de los valores de los parámetros de Weibull (β, η), Regresión lineal de Rangos de Mediana (MRR) y Estimador de Máxima Similitud (MLE). Estos dos métodos dan como resultados un área bien definida de valores potenciales de los dos parámetros de Weibull, donde los casos en los cuales no se tienen en cuenta las suspensiones representan un punto en particular de dichas áreas. Adicionalmente, se puede observar que, a pesar de que el ajuste de Dauser no tiene ningún fundamento matemático, el valor final está dentro del contorno de posibles valores de los parámetros (β, η) obtenidos a través de la metodología MRR, siendo, por tanto, una aproximación válida a tener en cuenta en caso de no tener información adicional. Por último, este artículo ofrece una representación alternativa de todos los valores posibles de los parámetros (β, η), que permite al análista seleccionar la pareja más adecuada de valores para cubrir todos los aspectos del análisis estadístico a realizar.

Referencias

[1] Dr. Robert B. Abernethy. 2004. The New Weibull Handbook, Fifth Edition.
[2] Aerospace Recommended Practice. 2013. Safety Assessment of Transport Airplanes in Commercial Service. SAE ARP5150. Society of Automotive Engineers (SAE International).
[3] https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull. Distribución de Weibull
[4] Fritz Scholz. 2008. Inference for the Weibull Distribution
[5] https://www.weibull.com/hotwire/issue176/hottopics176.htm. A Simple Method for Analyzing a Data Set with Unknow Suspension Times
[6] https://www.weibull.com/hotwire/issue16/relbasics16.htm. Comparison of MLE and Rank Regression Analysis When the Data Set Contains Suspensions.

[7]  reliawiki.org/index.php/Parameter_Estimation. Weibull Parameter Estimation

[8]  reliawiki.org/index.php/The_Weibull_Distribution. The Weibull Distribution

[9]  reliawiki.org/index.php/Appendix:_Log-Likelihood. Appendix: Log-Likelihood Equations

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